Wonderful Physics: Gerak Harmonik Sederhana

Sebelumnya kita membahas tentang osilasi. Nah, kali ini kita akan membahas tentang gerak harmonik sederhana. Apabila sebuah benda disimpangkan dari kedudukan setimbangnya, gerak harmonik akan terjadi jika ada gaya pemulih yang sebanding dengan simpangannya dan simpangan tersebut kecil. Suatu sistem yang menunjukkan gejala harmonik sederhana adalah sebuah benda yang tertambat pada sebuah pegas. Pada keadaan setimbang, pegas tidak mengerjakan gaya pada benda. Apabila benda disimpangkan sejauh x dari setimbang, pegas mengerjakan gaya –kx.

Mengkaji lebih jauh dengan meninjau sebuah benda bermassa M (kg) yang terletak di atas bidang tanpa gesekan dan dikaitkan kepada salah satu ujung pegas berkonstanta k (N/m) sebagaimana yang disajikan pada gambar berikut.

Osilasi Pegas

Ketika pegas disimpangkan sejauh x dari kedudukan setimbangnya lalu kemudian dilepas, maka massa M akan bergerak sedemikian rupa sehingga selalu menuju ke kedudukan semula. Hal ini terjadi karena adanya gaya pemulih sehingga timbul gejala yang kita kenal dengan osilasi.

Dalam keadaan tidak terdapat gaya yang bekerja pada massa M tersebut, maka ia akan tetap dalam keadaan diam di posisi setimbang, x=0. Namun seandainya diberikan gaya kepada massa tersebut dengan cara menekan dan melepaskannya, maka massa tersebut akan bergerak periodik menurut frekuensi tertentu. Gejala serupa terulang bahkan jika M ditarik, dipukul, atau diberi perlakuan berbeda, massa tersebut selalu bergerak dalam pola yang sama menuju posisi semula pada keadaan setimbang. Gerakan periodik disekitar titik setimbang inilah yang disebut dengan osilasi. Adapun gaya yang menyebabkan massa selalu bergerak ke kedudukan semula disebut dengan gaya pemulih atau restoring force.

Hukum Gaya untuk Gerak Harmonik Sederhana

Persamaan gerak osilasi dapat diturunkan dari dua buah hukum gerak, yaitu Hukum II Newton dan Hukum Hooke. Coba pandang sebuah benda yang dikaitkan dengan sebuah pegas. Jika pegas tidak tertarik atau tertekan maka simpangan benda adalah nol (benda dalam titik keseimbangan). Jika pegas tertarik maka terdapat simpangan benda (misal bernilai positif). Pada saat itu pegas memberikan gaya kepada benda yang besarnya sebanding dengan simpangannya namun berlawanan arah dengan pergeseran benda.

(1)

F adalah gaya pegas (gaya pemulih atau restoring force) dan k adalah tetapan pegas. Rumus ini menyatakan bahwa gaya yang dikerjakan oleh sebuah pegas pada sebuah benda berbanding lurus dengan pergeseran benda namun berlawanan arah dengannya. Tanda negatif dalam persamaan (1) mengandung pengertian bahwa gaya pemulih selalu bekerja untuk mengembalikan massa M ke kedudukan setimbangnya. Jika gaya pegas adalah satu-satunya gaya luar yang bekerja pada benda, maka pada benda berlaku Hukum II Newton.

(2)

atau

(3)

Percepatan bergerak lurus (misal ke arah x) dapat dituliskan menjadi:

(4)

Persamaan (3) merupakan persamaan osilasi harmonik sederhana (simple harmonic motion). Dalam osilasi sederhana, benda berosilasi di antara dua posisi dalam waktu (periode) tertentu, dengan asumsi tanpa kehilangan tenaga mekaniknya. Dengan kata lain, simpangan maksimum (amplitudo) osilasi tetap.

Persamaan (4) disebut persamaan diferensial, karena mengandung suku yang berupa diferensial. Persamaan (4) merupakan bentuk hubungan fungsi x(t)dengan derifatif keduanya d²x/dt². Agar dapat memahami gejala osilasi ini lebih mendalam, maka kita harus menemukan bentuk suatu fungsi yang memenuhi persamaan (4) tersebut. Langkah yang kita lakukan adalah dengan menulis ulang persamaan tersebut ke dalam bentuk :

(5)

Persamaan (5) menunjukkan kepada kita bahwa haruslah sebuah fungsi yang derivatif keduanya merupakan negatif dari dirinya sendiri. Keadaan tersebut hanya dipenuhi oleh bentuk sinusoida.

(6)

serta jumlahan dari keduanya

(7)

Pada kesempatan ini kita akan mencoba suatu solusi dengan bentuk

(8)

dengan B, w dan q adalah tetapan. Konstanta B disebut amplitudo, w adalah frekuensi sudut. q adalah sudut fase awal. Besaran wt+q disebut fase osilasi . Sudut fase awal q adalah faktor dalam persamaan yang dilibatkan untuk menggambarkan posisi awal benda yang berosilasi. Persamaan (8) sering dinamakan persamaan simpangan.

Jika kita lakukan substitusi persamaan (8) ke dalam persamaan (5), maka akan diperoleh hasil bahwa w² = k/M

Perhatikan bahwa fungsi x periodik dan berulang pada simpangan yang sama dengan kenaikkan wt sebesar 2p. Periode osilasi T adalah waktu yang diperlukan benda untuk menjalani gerakan satu putaran (cycle). Ini berarti nilai x pada saat t sama dengan nilai x pada saat t + T. Berdasarkan kenyataan ini bahwa:

(9)

(10)

yang merupakan frekuensi angular atau lebih sering disebut sebagai kecepatan sudut ayunan tersebut. Gerak ayunan yang telah kita bahas ini disebut dengan gerak harmonis atau juga disebut dengan getaran harmonis. Hal penting yang harus kita pahami dari gejala yang kita gambarkan dengan persamaan (8) adalah bahwa karena fungsi cos memiliki nilai dalam rentang antara -1 dan +1. Ini berarti bahwa massa M berayun di sekitar titik setimbang dengan simpangan terbesar adalah nilai maksimum . Nilai maksimum ini disebut dengan amplitudo. Kuantitas disebut fase, dan disebut konstanta atau tetapan fase.

Pembuktian bahwa persamaan (8) merupakan solusi dari persamaan (4). Dalam persoalan osilasi di atas, penyelesaian harus dinyatakan dalam x sebagai fungsi t, dan harus memenuhi suku kiri sama dengan suku kanan. Dengan kata lain, penyelesaian harus menyebabkan suku kiri Persamaan (4) sama dengan nol.

Dengan ambil turunan pertama dan kedua Persamaan (8 dan 4) dan kemudian mensubstitusikannya ke Persamaan (5)

Subsitusi ke persamaan (5)

Karena w² = k/M

Terbukti bahwa suku kiri sama dengan suku kanan. Dengan kata lain , Persamaan (8), merupakan peyelesaian Persamaan (5). Coba anda buktikan bahwa pesamaan (12) juga merupakan solusi dari persamaan (5).